课程名称

《切线长定理与三角形的内切圆》

执教者

宁一洪

课程性质

必修课

教学对象

九年级学生

授课类型

必修课

学时

1学时

选用教材

人教版义务教育科书《数学》九年级上册第二十四章圆

一、教学内容分析

《切线长定理与三角形的内切圆》是生活、工作中随时可见的平面图形，如火车铁轨转弯时，要注意怎样不会脱离轨道，挖掘教材的内蕴妙处，并充分发挥其功能，从而激励感官认知，数学来源生活，服务生活，那么，不但能使学生掌握切线长的定义，掌握切线长定理，并利用它进行有关的计算，而且能使学生经历感知教学，图形描述现实世界的过程，领悟数学知识发生与发展过程中思想方法，同时也能使学生感受数学与现实世界的联系，增强“用数学”的意识，培养严谨朴实态度，通过数学图形美，提高学生的美育。

二、学情分析

初步学会从数学的角度提出问题，理解问题，并能运用所学的知识和技能解决问题，发展应用意识。在解题中形成解决问题的基本策略，体验问题策略的多样性，发展实践能力与创新精神，了解数学的价值，对数学有好奇心与求知欲，在数学学习活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心。

三、教学目标

知识与能力目标：

  (一)知识与技能：1.了解切线长的概念，会作三角形的内切圆；2.理解切线长定理，了解三角形的内切圆和三角形的内心的概念，熟练掌握它的应用。

(二)过程与方法：经历探究三角形的内切圆的过程，掌握切线长及其定理。

情感与态度目标：情感态度与价值观：经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展合情推理能力和初步演绎推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点.

四、教学重点、难点

重点：会作三角形的内切圆，了解三角形的内切圆和三角形的内心的概念，理解切线长定理，熟练掌握它的应用。

难点：切线长定理的导出及其证明和运用切线长定理解决一些实际问题。

五、教学方法

本课的教学采用参与式教学方法，以学生为本分分步进行，教学设计内容主要由七个教学活动组成：

活动1：活动准备，观看立体图形投影图片。课前呈现情景，创设氛围，激发学生的观察，去思考，又激发学生的兴趣。

活动2：实例引入，引起学生的兴趣。

活动3：利用课件介绍《斜二测画法》规则和步骤，线段平移，动感闪耀，强化位置关系。

活动4：加强学生的动手能力，画出常用的一些空间图形 。

活动5：小组讨论，使用三角形平移线段，用圆规截取线段，培养计算工具使用技能，从而培养学生严谨的科学态度。

活动6：总结本节课学习内容，积极知识，培养学生观察能力和逻辑思维能力，会欣赏生活的美的能力。

活动7：布置作业，巩固知识。

六、教学手段选用与环境设计（或教学环境及资源准备）

多媒体教室、课件、可活动的桌椅（便于学生分组学习）、白板、油性笔若干

七、教学过程

如图，AB是⊙O的切线，切点为B，AO⊥BC，∠A=30°，则：

(1)∠ABO=___°，∠BOE=___°；

(2)BD=___，BE=___，∠BOE=∠____.

画一画

1.如何过⊙O外一点P画出⊙O的切线？

2.这样的切线能画出几条？

如图，过圆外一点P有两条直线PA，PB

分别与⊙O相切.经过圆外一点的圆的切线

上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到

圆的切线长.

切线与切线长有什么区别与联系？

切线和切线长是两个不同的概念：

1.切线是一条与圆相切的直线；

2.切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点.

探究

如图，PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别为A，B.在半透明的纸上画出这个图形，沿着直线PO将图形对折，图中的PA与PB，∠APO与∠BPO有什么关系？

如图，连接OA和OB.

∵ PA和PB是⊙O的两条切线

∴ OA⊥AP，OB⊥BP

又 OA=OB，OP=OP

∴ Rt△AOP≌Rt△BOP (HL)

∴ PA=PB，∠APO=∠BPO

由此得到切线长定理：

从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.

定理应用格式：

∵ PA、PB分别切⊙O于A、B

∴ PA=PB，∠APO=∠BPO.

切线长定理为证明线段相等、角相等提供新的方法

思考

如图是一块三角形的铁皮，如何在它上面截下一块圆形的用料，并且使截下来的圆与三角形的三条边都相切？

如图，分别作出∠B、∠C的平分线BM和CN，设它们相交于点I，那么点I到AB，BC，CA的距离都相等.以点I为圆心，点I到BC的距离ID为半径作圆，则⊙I与△ABC的三条边都相切，圆I就是所求作的圆.

    与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心.

例2如图，△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB=9，BC=14，CA=13.求AF、BD、CE的长.

解：设AF=x，则AE=x，CD=CE=AC-AE=13-x，BD=BF=AB-AF=9-x

由BD+CD=BC，可得(13-x)+(9-x)=14

解得 x=4

因此 AF=4，BD=5，CE=9

练习

1.如图，△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=75°，点O是△ABC内心.求∠BOC的度数.

解：∵ 点O是△ABC的内心

∴ OB、OC分别平分∠ABC、∠ACB

∴ ∠OBC=∠ABC=×50°=25°

∠OCB=∠ACB=×75°=37.5°

∴ ∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°-25°-37.5°=117.5°

2.△ABC的内切圆半径为r，△ABC的周长为l，求△ABC的面积.

解：如图，设△ABC的内心为O，连接OA，OB，OC，则点O到AB，BC，AC的距离为r.

∴ S_△ABC=S_△AOB+S_△BOC+S_△AOC

       =×AB×r+×BC×r+×AC×r

       =×(AB+BC+AC)×r

       =lr

课堂小结

1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？

八、教学反思

教学过程中，强调用切线长定理可解决有关求角度、周长的问题. 明确三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，到三边的距离相等.