一、知识结构图

二、肉容解析

1.地位和作用：锐角三角函数在测量，建筑，工程技术等方面应用广泛，是解决与直角三角形有关的实际问题及几何问题的重要工具。它属于初中数学“图形与几何”第二部分“图形的变化”中“图形的相似”的内容，可见它在初中数学中属于几何的内容而并非代数内容。锐角三角函数研究的是角度与直角三角形边比之间的关系，解决解直角三角形有关问题，所以要降低其“函数味”就显而易见了。

2．概念的解析：三角函数的内涵是直角三角函数中边与角的关系，即当角确定时，直角三角形内部各边之间的比值不变。为了让学生理解角度与比值之间的关系，由特殊直角三角形到一般直角三角形的特殊到一般的过程，并提出数学思考，当角是一个确定的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定的值？得出正弦的概念，再通过分类得到其他比值，类比得出余弦和正切的概念。

3．思想方法：研究正弦函数时运用了从特殊到一般的研究方法；在归纳三角函数类别时，蕴含分类讨论；描述正弦，余弦概念时需要类比思想；非直角三角形背景问题下计算三角函数需要用到转化思想。

4．知识类型：三角函数的概念属于陈述性知识，用定义求三角函数是程序性知识．由知识类型所决定，教学中要让学生寻找相关的直角三角形。

5．教学重点：基于以上分析，确定本节课的教学重点为：会用符号表示一个锐角的三角函数，根据概念求三角函数值。

三、目标与目标解析

1．目标

（1）理解正弦，余弦，正切的概念；

(2）掌握正弦，余弦，正切的符号，会用符号表示一个锐角的三角函数；

(3）会根据锐角三角函数的概念求三角函数值。

2．目标解析

目标（1) (2）达成的标志是三角函数的文字语言与符号语言能够灵活转化，熟练运用直角三角形的边之比表示正弦，余弦，正切。

目标（3）达成的标志是理解计算三角函数值的本质，只需已知直角三角形两边之比就可以计算其三角函数值．当情境中没有直角三角形时，会构造直角三角形；算给定角的正弦，余弦，正切。

四、教学问题诊断分析

1．已具备的认知基础：九年级的学生已具备勾股定理，相似三角形，证明相似三角形的数学能力，能够运用两个相似直角三角形相似比的不变性推导各自直角三角形内部两边比值的恒定不变性。锐角三角函数反映的是直角三角形边与角之间的关系，给出定义时需结合图形，利用直角三角形边之比进行定义。

2．与本课目标的差距分析：在任意锐角条件下证明角度与比值之间的关系时，要把两个相似直角三角形相似比的不变性转化为各自直角三角形内部两边比值的恒定不变性，由于都是字母，比较抽象，理解起来有一定的困难。

3.可能存在问题的应对策略：正弦，余弦，正切三类符号混淆，需要多读，借助文字语言，理解它的定义．在非直角三角形中会出现直接利用边比计算三角函数的错误解法（所以要充分认识适用的条件是直角三角形）概念的学习先入为主，所以在第一次接触概念时就要培养学生认真审题的习惯，严谨的学习态度。

4．教学难点：基于以上分析，确定本节课的教学难点为：理解三角函数的概念。

五、教学过程

1．温故知新，引出课题

问题1：直角三角形有哪些性？

师生活动：个别回答，补充直角三角形的性质。

问题2：如果你是教材编写者，接下来我们要研究什么内容？若学生一片茫然，教师引导，在研究等腰三角形性质时，我们还学习了边角关系即在同一个三角形中，等边对等角，等角对等。直角三角形边角之间有没有关系呢？要研究一个问题，我们往往先把它特殊化，所以先研究特殊的直角三角形。研究30度角和45度角的直角三角形。

问题3:  30°的直角三角形，边之间有什么关系呢？

师生活动：学生回答三边之比1:2:，即＝器＝号，

同学们手中的三角板与老师手申的三角板都有这个结论，为什公？相似三角形。

问题4:  45°的直角三角形，边之间有什么关系呢？

师生活动：学生回答三边之比 I : I ：巨即-..＂=1

问题5：当角度分别等于30°，45°时，三边之比都是一个固定值，由此可以提出什么猜想？

师生活动：当角度是任意一个固定的锐角时，它的三边之比也是一个固定值．若学生提不出来，几何画板动画演示，角度固定时，对边与斜边的比值确定，观察后提出猜想。要研究三边比值固定我们先可以转化为研究两边比值是否固定？

角度是任意一个固定的锐角时，它的对边与斜边的比也是一个固定值（若前

面猜想出来，这里补上动画演示，我们先借助几何画板验证一下猜想是否正确？)

问题6：如何来证明这一结论呢？证明一个数学命题，我们先画图写已知求证。

师生活动：学生回答已知，求证的内容，个别回答证明过程．

教师断后：两个相似直角三角形相似比的不变性转化为各自直角三角形内部两边比值的恒定不变性。

设计意图：以上引入从数学知识内部发展的需要展开，经历从特殊到一般的认识三角函数的过程。由30°，45°这些特殊角，到实验操作任意具体角度最后到任意确定的角逐步实现一般化的过程，在任意确定锐角情况证明过程中，学生经历观察一归纳一猜想一证明的整个探究问题的过程．通过探究得出一个角的对边与斜边的比值与三角形的大小无关，角度确定比值就确定。

2．归纳概括，得出概念

由于角度确定，比值就确定，我们把比值叫做 A 的正弦，记做 sin A ，即 sin A ＝乐

问题7：当角度为30°时， sin A =, 角度为45°时 sin A ＝，

我们发现 sin A 随着角度 A 的改变而改变，当角度确定时， sin A 的值唯一确定，这与我们以前学习的哪一知识类似？

问题8：当∠A 确定时，除了∠A  的对边与斜边的比确定以外，其他边之比有没有确定？

余弦和正切的定义：我们可以类似定义：比值一叫做 ∠A的余弦，记做 cos A 即 cosA ＝张比值뜨叫做∠A 的正切，记做 tan A 即 tan A =.

我们把锐角 ∠A 的正弦、余弦、正切统称为∠A 的三角函数．

设计意图：通过类比得出其它三角函数的概念．

师生活动：教师示范读法与写法强调三角函数的书写规范， sin A 一个完整的符号，不是 sin 乘以A，当角用三个大写字母表示或用阿拉伯数字表示时，其三角函数要带上角的符号。

问题9：关于比值你有记忆的好方法吗？

设计意图：帮助学生理解记忆．

问题10：通过概念可以发现计算三角函数的前提，这个三角形需满足的条件是什么？

设计意图：明确锐角三角函数是在直角三角形基础上进行定义的，应用定义、定理时必须要满足其条件．

3．例题精讲，加深理解

例如图，在 Rt △ ABC 中， ∠C = 90°，若 AB =13, BC =12.

求：(1) ∠A的正弦、余弦和正切的值；

(2)求 ∠B的正弦、余弦和正切的值;

(3)观察(1)(2)中的计算结果，你发现了什么？

变式：在 Rt△ABC 中，∠C= 90°，若＝长，求cos4,tan4.

 BC 改为sin4=듬呢？把条件 AB 13

问题11：在直角三角形中，已知什么条件，就能求出三角函数值？

设计意图：例题直接应用，巩固概念，了解互余角三角函数之间的关系。通过问题11揭示本质，计算三角函数从角的条件出发，只需要一个角的度数；从边的条件出发，只需要知道任意两比．同时为解直角三角形作铺垫。

4．随堂练习，巩固提高

练习：在等腰△ ABC 中， AC = BC =5 , AB =6．小明在学习了锐角三角函数这节课后认为， sin A ＝器﹣你同意小明的观点吗？

设计意图：进一步感受计算三角函数需满足的前提条件，其三角形要为直角没有直角要构造直角的条件，渗透转化思想。

5.课堂总结，反思提高

(1）本节课我们是如何研究的？

(2）观察框架结构图，后续我们要研究什么？

设计意图：回顾研究路径积累从特殊到一般的研究经验，通过共同梳理知识框架图，了解知识的来龙去脉，把整节课放在整个知识体系中促进学生系统性的理解，有利于后续的学习．

六、教学反思

初中阶段学习锐角三角函数的目的是为解直角三角形作铺垫，所以只是研究比值没有从函数角度说明，因为后者是高中研究的内容。本节课的设计充分体现了以生为本，从学生熟悉的知识出发研究特殊直角三角形边的比值，得出特殊角的条件下比值是确定的结论，观察几何画板演示动画猜想一般性的结论，并予以证明。概念的形成过程经历了观察一实验一猜想一证明完整的探究过程，获得从特殊到一般的研究问题的经验，整个环节由学生提出问题并解决问题，充分发挥了学生的主体地位体现学为中心的理念。欣喜的是学生对于概念的记忆方法能联想到初二直角三角形勾股定理中的勾，股，弦，借助数学史理解概念。当学生问直角有没有正弦值时，教师没有进一步引导有待改进。若能画一个三角形带领着学生用极限的思想去考虑会更好，促进思维水平高的孩子进一步发展，为高中学习任意角的三角函数做铺垫。